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By Rolf Klein

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen n?chsten Nachbarn? Wie l?sst sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung? Mit solchen und ?hnlichen Fragen besch?ftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen st?rmischen Verlauf genommen hat. Dieses Lehrbuch gibt eine Einf?hrung in h?ufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe H?lle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie h?herdimensionale Datenstrukturen. Die vorliegende zweite Auflage wurde gr?ndlich ?berarbeitet. Sie enth?lt ?ber 60 ?bungsaufgaben mit L?sungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die M?glichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Example text

Sei m ≤ n. Weil Q konvex ist, kann jede der m Kanten von P h¨ochstens zweimal ∂Q schneiden. Zu diesen maximal 2m vielen Ecken kommen h¨ ochstens noch die m+n Originalecken von P und Q hinzu. Daß diese Schranke scharf ist, zeigt das Beispiel von zwei konzentrischen regelm¨aßigen n-Ecken, von denen das eine gegen¨ uber dem anderen um den Winkel π/n verdreht ist. 10 Zun¨achst wenden wir den Halbebenentest an und bestimmen, ob r auch auf der Geraden g liegt. Falls ja, stellen wir fest, ob r hinter oder vor dem Punkt q liegt; im ersten Fall ist α = 0, im zweiten k¨onnen wir nur α = ±π berichten.

Entscheidet, in welchem der ” beiden offenen Teilr¨aume, die von der Hyperebene getrennt werden, der Punkt (x1 , . . , xn ) liegt. Vergleiche xi < xj sind damit nat¨ urlich immer noch m¨oglich. Als Hardwarebasis k¨onnen wir uns eine REAL RAM vorstellen, die keinen direkten Zugriff auf die Zahlenfolge (x1 , . . , xn ) hat. Sie kann lediglich auf beliebige Weise reelle Koeffizienten (c1 , . . , cn , d) bilden und in speziellen Speicherzellen ablegen. Nach Aufruf eines speziellen Orakelbefehls enth¨ alt der Akkumulator den Wert 1 oder 0, je nach Ausgang des Vorzeichentests c1 x1 + .

Wir beschr¨ anken uns beim Beweis auf deterministische Algorithmen. Eine Verallgemeinerung auf randomisierte Algorithmen ist aber m¨ oglich. Sei also A ein deterministisches Verfahren zur L¨osung des Sortierproblems durch Vergleiche. Dann wird der erste Aufruf K(i, j) triviale untere Schranken Sortieren durch Vergleiche 35 36 Kapitel 1 Grundlagen der Vergleichsfunktion nach dem Start von A immer f¨ ur dasselbe Indexpaar (i, j) ausgef¨ uhrt, unabh¨angig von der Inputfolge (q1 , . . , qn ), u ¨ ber die A ja noch keinerlei Information besitzt.

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